概率数论研究什么：确定的整数为什么可以用概率来分析

整数是否为素数、含有哪些因子，都是确定的问题。概率数论却会研究这些性质的统计分布，这并不矛盾：随机的可以是我们选择整数的方式，而不是整数本身的性质。先理解这一点，就能避免把“用概率研究素数”误解成“素数每次计算会改变”。

从有限范围随机选数

可以设想从1到N之间等可能地选出一个整数，再统计它有多少个不同素因子。选中的数不同，统计值就可能不同。例如12有2和3两个不同素因子，30有2、3、5三个。这里讨论的是一群整数的整体分布，而不是宣称某一个数的因子随机变化。

概率数论会借助期望、方差和极限分布等概念，研究算术函数的典型表现。埃尔德什—卡茨定理就是重要例子，它涉及不同素因子个数经过适当标准化后的渐近分布。关键词是“标准化”和“渐近”，不能把结论简化成每个有限样本都精确服从某条曲线。

一些关于素数的随机模型还能提供启发，但模型假设与严格定理并不相同。阅读时可以先问：随机对象怎样选取，研究哪个函数，结论适用于有限范围还是极限情形。带着这三个问题，概率方法与确定整数之间的联系会更清楚，也不容易把预测模型误写成已经证明的事实。

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